Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} (1 - 4 x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 1 - 4 x$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 x] + (1 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + (1 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]) + (1 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- 4 x] + (1 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- 4 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 4 \cdot 1) + (1 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x^{2} \cdot - 4 + (1 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.6.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{2}$ .

$- 4 \cdot x^{2} + (1 - 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 x^{2} + (1 - 4 x) (2 x)$

Étape 2.8

Déplacez $2$ à gauche de $1 - 4 x$ .

$- 4 x^{2} + 2 \cdot (1 - 4 x) x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x^{2} + (2 \cdot 1 + 2 (- 4 x)) x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x^{2} + 2 \cdot 1 x + 2 (- 4 x) x$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 4 x^{2} + 2 x + 2 (- 4 x) x$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$- 4 x^{2} + 2 x - 8 x \cdot x$

Étape 3.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 4 x^{2} + 2 x - 8 (x^{1} x)$

Étape 3.3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 4 x^{2} + 2 x - 8 (x^{1} x^{1})$

Étape 3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 x^{2} + 2 x - 8 x^{1 + 1}$

Étape 3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 4 x^{2} + 2 x - 8 x^{2}$

Étape 3.3.7

Soustrayez $8 x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$- 12 x^{2} + 2 x$