Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{3} + x + 4}{2 x}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3} + x + 4}{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + x + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + x + 4}{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{3} + x + 4$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + x + 4] - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1 + 0) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $3 x^{2} + 1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.7

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4)}{x^{2}}$

Étape 3.7.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 4)}{2 x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - (x^{3} + x + 4)}{2 x^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1 \cdot 4}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 4}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.2

Associez les termes opposés dans $3 x^{3} + x - x^{3} - x - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} + 0 - 4}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $3 x^{3} - x^{3}$ et $0$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 4}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.3

Soustrayez $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} - 4}{2 x^{2}}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $2 x^{3} - 4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (x^{3}) - 4}{2 x^{2}}$

Étape 4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 (x^{3}) + 2 \cdot - 2}{2 x^{2}}$

Étape 4.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{3}) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (x^{3} - 2)}{2 x^{2}}$

Étape 4.4.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{3} - 2)}{2 (x^{2})}$

Étape 4.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{3} - 2)}{2 x^{2}}$

Étape 4.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} - 2}{x^{2}}$