Calcul infinitésimal Exemples

$x (x^{2} - \frac{1}{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{1}{x}] + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$x (2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$x (2 x - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x (2 x - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3

Multipliez.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (2 x + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (2 x + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$x (2 x + x^{- 2} + 0) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.5.2

Additionnez $2 x + x^{- 2}$ et $0$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{1}{x}) \cdot 1$

Étape 4.7

Multipliez $x^{2} - \frac{1}{x}$ par $1$ .

$x (2 x + x^{- 2}) + x^{2} - \frac{1}{x}$

Étape 5

Pour écrire $x (2 x + x^{- 2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x}{x} - \frac{1}{x}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{x (2 x + x^{- 2}) x - 1}{x}$

Étape 7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Étape 8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 1} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Étape 10

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + x^{- 2}) - 1}{x}$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + \frac{1}{x^{2}}) - 1}{x}$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Étape 11.3

Associez des termes.

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Étape 11.3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.1.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Étape 11.3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 11.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Étape 11.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Étape 11.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{2} + \frac{x^{3} \cdot 2 + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Étape 11.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot x^{3} + x^{2} \frac{1}{x^{2}} - 1}{x}$

Étape 11.3.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

Étape 11.3.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 11.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 1}{x}$

Étape 11.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 1 - 1}{x}$

Étape 11.3.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 0}{x}$

Étape 11.3.6

Additionnez $2 x^{3}$ et $0$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3}}{x}$

Étape 11.3.7

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 11.3.7.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x}$

Étape 11.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}}$

Étape 11.3.7.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Étape 11.3.7.2.3

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Étape 11.3.7.2.4

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{2 x^{2}}{1}$

Étape 11.3.7.2.5

Divisez $2 x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + 2 x^{2}$

Étape 11.3.8

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$3 x^{2}$