Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{x^{2} + 1}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$3 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $x^{2} + 1$ par $1$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$3 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 9

Associez $3$ et $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 3}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$