Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} - 6 x + 2}{2 x}$

Étape 1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2} - 6 x + 2}{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 6 x + 2}{x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 6 x + 2}{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 6 x + 2$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 2] - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x - 6 + 0) - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.7

Additionnez $2 x - 6$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 2) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 2) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 3.9

Associez les fractions.

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Étape 3.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2}}$

Étape 3.9.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{x (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 2)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (2 x - 6) - (x^{2} - 6 x + 2)}{2 x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - (x^{2} - 6 x + 2)}{2 x^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.1.3

Déplacez $- 6$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 2}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 6 x - 2}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 6 x - 2$ .

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Étape 4.3.2.1

Additionnez $- 6 x$ et $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 0 - 2}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $2 x^{2} - x^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 2}{2 x^{2}}$

Étape 4.3.3

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2}{2 x^{2}}$