Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{5} (x e^{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log_{5} (x)$ et $g (x) = x e^{x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\log_{5} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x e^{x}$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Étape 4.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x} + e^{x})$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x e^{x} \ln (5)} (x e^{x}) + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x e^{x} \ln (5)}$ .

$\frac{x}{x e^{x} \ln (5)} e^{x} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{x}{x e^{x} \ln (5)}$ et $e^{x}$ .

$\frac{x e^{x}}{x e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x e^{x}}{x e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (5)} e^{x}$

Étape 5.2.5

Associez $\frac{1}{x e^{x} \ln (5)}$ et $e^{x}$ .

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{e^{x}}{x e^{x} \ln (5)}$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 5.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{e^{x}}{x e^{x} \ln (5)}$

Étape 5.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\ln (5)} + \frac{1}{x \ln (5)}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{x \ln (5)} + \frac{1}{\ln (5)}$