Calcul infinitésimal Exemples

$[(x^{3} + x) (x^{3} - x)]$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3} + x$ et $g (x) = x^{3} - x$ .

$(x^{3} + x) \frac{d}{d x} [x^{3} - x] + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(x^{3} + x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1 \cdot 1) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + x]$

Étape 2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Factorisez $1$ à partir de $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $1$ à partir de $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)$ .

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

Étape 3.1.2

Factorisez $1$ à partir de $(x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ .

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + 1 ((x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$

Étape 3.1.3

Factorisez $1$ à partir de $1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1)) + 1 ((x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$ .

$1 ((x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1))$

Étape 3.2

Multipliez $(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$ par $1$ .

$(x^{3} + x) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x) (3 x^{2} + 1)$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$(3 x^{2} - 1) (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Étape 3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1

Développez $(3 x^{2} - 1) (x^{3} + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} (x^{3} + x) - 1 (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Étape 3.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} x - 1 (x^{3} + x) + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Étape 3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Étape 3.4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.2.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$3 (x^{3} x^{2}) + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Étape 3.4.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{3 + 2} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Étape 3.4.2.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$3 x^{5} + 3 x^{2} x - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{5} + 3 (x \cdot x^{2}) - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Étape 3.4.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{5} + 3 (x^{1} x^{2}) - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Étape 3.4.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{5} + 3 x^{1 + 2} - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Étape 3.4.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 x^{5} + 3 x^{3} - 1 x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Étape 3.4.2.1.3

Réécrivez $- 1 x^{3}$ comme $- x^{3}$ .

$3 x^{5} + 3 x^{3} - x^{3} - 1 x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Étape 3.4.2.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$3 x^{5} + 3 x^{3} - x^{3} - x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + (3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$

Étape 3.4.3

Développez $(3 x^{2} + 1) (x^{3} - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} (x^{3} - x) + 1 (x^{3} - x)$

Étape 3.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} (- x) + 1 (x^{3} - x)$

Étape 3.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{2} x^{3} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Étape 3.4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.1.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 (x^{3} x^{2}) + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Étape 3.4.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{3 + 2} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Étape 3.4.4.1.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 x^{2} (- x) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Étape 3.4.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{2} x + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Étape 3.4.4.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.1.3.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Étape 3.4.4.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.4.4.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Étape 3.4.4.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{1 + 2} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Étape 3.4.4.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} + 3 \cdot - 1 x^{3} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Étape 3.4.4.1.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + 1 x^{3} + 1 (- x)$

Étape 3.4.4.1.5

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + x^{3} + 1 (- x)$

Étape 3.4.4.1.6

Multipliez $- x$ par $1$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 3 x^{3} + x^{3} - x$

Étape 3.4.4.2

Additionnez $- 3 x^{3}$ et $x^{3}$ .

$3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 2 x^{3} - x$

Étape 3.5

Associez les termes opposés dans $3 x^{5} + 2 x^{3} - x + 3 x^{5} - 2 x^{3} - x$ .

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Étape 3.5.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$3 x^{5} - x + 3 x^{5} + 0 - x$

Étape 3.5.2

Additionnez $3 x^{5} - x + 3 x^{5}$ et $0$ .

$3 x^{5} - x + 3 x^{5} - x$

Étape 3.6

Additionnez $3 x^{5}$ et $3 x^{5}$ .

$6 x^{5} - x - x$

Étape 3.7

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$6 x^{5} - 2 x$