Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{(x + 2) x}{x + 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = (x + 2) x$ et $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [(x + 2) x] - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = x$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 2) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 2]) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) ((x + 2) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 2]) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2 + x \frac{d}{d x} [x + 2]) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2 + x (1 + \frac{d}{d x} [2])) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2 + x (1 + 0)) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2 + x \cdot 1) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2 + x) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.6.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - (x + 2) x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - (x + 2) x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - (x + 2) x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - (x + 2) x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - (x + 2) x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - (x + 2) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) + (- x - 1 \cdot 2) x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 1) (2 x + 2) - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Développez $(x + 1) (2 x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 2 + 1 (2 x + 2) - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2.1.4

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2.1.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.2.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - x \cdot x - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - (x \cdot x) - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - x^{2} - 1 \cdot 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2 - x^{2} - 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 2 - 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Soustrayez $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{2}}$