Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 1$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ .

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Étape 3.5.1.1

Soustrayez $2 x^{2} x$ de $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x + 0 - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.1.2

Additionnez $2 \cdot - 1 x$ et $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 2 x - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.7.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Étape 3.7.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$- \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Étape 3.7.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$