Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{4 \sqrt{x + x \sqrt{x}}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x \cdot x^{\frac{1}{2}}}}]$

Étape 2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{1} x^{\frac{1}{2}}}}]$

Étape 2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{1 + \frac{1}{2}}}}]$

Étape 2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}}]$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{2 + 1}{2}}}}]$

Étape 2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 \sqrt{x + x^{\frac{3}{2}}}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + x^{\frac{3}{2}}}$ comme ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 3.3.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 3.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 3.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + x^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 9.2

Associez ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{{(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 9.3

Placez ${(x + x^{\frac{3}{2}})}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 9.4

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 (2 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 9.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Étape 12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Étape 13

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 14

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Étape 16.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 17

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Étape 18

Simplifiez

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Étape 18.1

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

$- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- 1 \cdot 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.4

Multipliez $- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ par $\frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Étape 18.5.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.5.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.5.1.4

Réécrivez $- 1 (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ comme $- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

$\frac{- (1 + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- (\frac{2}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 18.7

Multipliez $- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

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Étape 18.7.1

Multipliez $\frac{1}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{8 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 18.7.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$- \frac{2 + 3 x^{\frac{1}{2}}}{16 {(x + x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{3}{2}}}$