Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\sqrt{x})$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = \ln (\sqrt{x})$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez l’argument dans $\ln (\sqrt{x})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt{x} > 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x}}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Simplifiez

$x > 0^{2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x > 0$

Étape 1.2.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{x}$ .

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Étape 1.2.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 1.2.3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 1.2.4

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x > 0$

Étape 1.3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 1.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Étape 2

Pour déterminer le point final de l’expression radicale, remplacez la valeur $x$ $0$ , qui est la valeur la plus basse dans le domaine, dans $f (x) = \ln (\sqrt{x})$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \ln (\sqrt{0})$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$f (0) = \ln (\sqrt{0})$

Étape 2.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Étape 2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = \ln (0)$

Étape 2.5

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

$f (0) = Undefined$

Indéfini

Étape 3

Le point final de l’expression du radical est $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du point final de l’expression radicale.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = \ln (\sqrt{x})$ . Dans ce cas, le point est $(1, 0)$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \ln (\sqrt{1})$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1) = \ln (\sqrt{1})$

Étape 4.1.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (1) = \ln (1)$

Étape 4.1.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = 0$

Étape 4.1.2.4

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = \ln (\sqrt{x})$ . Dans ce cas, le point est $(2, \ln (\sqrt{2}))$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \ln (\sqrt{2})$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (2) = \ln (\sqrt{2})$

Étape 4.2.2.2

La réponse finale est $\ln (\sqrt{2})$ .

$y = \ln (\sqrt{2})$

Étape 4.3

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.35)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.35 \end{array}$

Étape 5