Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{h}$

Étape 1.2

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + h)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{h}$

Étape 1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{h}$

Étape 1.4

Évaluez la limite de $x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} x^{2}}{h}$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $x^{2}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2} - x^{2}}{h}$

Étape 2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{{(x + 0)}^{2} - x^{2}}{h}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x + 0$ et $b = x$ .

$\frac{(x + 0 + x) (x + 0 - x)}{h}$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{(x + x) (x + 0 - x)}{h}$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{2 x (x + 0 - x)}{h}$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{2 x (x - x)}{h}$

Étape 3.1.2.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{2 x \cdot 0}{h}$

Étape 3.1.2.5

Associez les exposants.

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Étape 3.1.2.5.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{0 x}{h}$

Étape 3.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$\frac{0}{h}$

Étape 3.2

Divisez $0$ par $h$ .

$0$