Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 4} x - 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Étape 1.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.3.7.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.3.7.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.3.7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.3.7.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.7.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.3.7.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.3.7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}$

Étape 1.3.9

Simplifiez

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Étape 1.3.9.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Étape 1.3.9.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.9.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Étape 1.3.9.2.2

Additionnez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 4} 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 4} 1 (2 \sqrt{x})$

Étape 1.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 4} 2 \sqrt{x}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 4} \sqrt{x}$

Étape 2.2

Placez la limite sous le radical.

$2 \sqrt{lim_{x \to 4} x}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $4$ pour $x$ .

$2 \sqrt{4}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2 \cdot 2$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$