Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{8}{x^{2} + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{x^{2} + 1}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$8 (- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 ({(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$- 16 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Associez $- 16$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Étape 1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Étape 1.4.2.3

Associez $x$ et $\frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.4.2.4

Déplacez $16$ à gauche de $x$ .

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.2.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.5.2.3

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 16 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.15

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.16

Associez $- 16$ et $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{(16) (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.18

Simplifiez

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Étape 2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2}) + 16 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.18.2.1

Multipliez $- 3$ par $16$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 16 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.2.2

Multipliez $16$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 48 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.3

Factorisez $16$ à partir de $- 48 x^{2} + 16$ .

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Étape 2.18.3.1

Factorisez $16$ à partir de $- 48 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2}) + 16}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.3.2

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2}) + 16 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.3.3

Factorisez $16$ à partir de $16 (- 3 x^{2}) + 16 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.5

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.7

Réécrivez $- (3 x^{2} - 1)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.18.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Étape 2.18.10

Multipliez $\frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8}{x^{2} + 1}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} + 1})$

Étape 4.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 4.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f' (x) = 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

Étape 4.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = 8 (- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f' (x) = - 8 ({(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

Étape 4.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 4.1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Étape 4.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.3.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = - 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Étape 4.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$f' (x) = - 16 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 16 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Étape 4.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.4.2.1

Associez $- 16$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Étape 4.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Étape 4.1.4.2.3

Associez $x$ et $\frac{16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 16}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.1.4.2.4

Déplacez $16$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = - \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{16 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$16 x = 0$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $16 x = 0$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $16 x = 0$ par $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{0}{16}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 x}{16} = \frac{0}{16}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{16}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $0$ par $16$ .

$x = 0$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{16 (3 {(0)}^{2} - 1)}{{({(0)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{16 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{16 (0 - 1)}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.1.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{16 \cdot - 1}{{(0^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{16 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{16 \cdot - 1}{1^{3}}$

Étape 9.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{16 \cdot - 1}{1}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$\frac{- 16}{1}$

Étape 9.3.2

Divisez $- 16$ par $1$ .

$- 16$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{8}{{(0)}^{2} + 1}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = \frac{8}{0 + 1}$

Étape 11.2.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = \frac{8}{1}$

Étape 11.2.2

Divisez $8$ par $1$ .

$f (0) = 8$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $8$ .

$y = 8$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{8}{x^{2} + 1}$ .

$(0, 8)$ est un maximum local

Étape 13