Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{2} - 12 x - 8$

Étape 1

Écrivez $3 x^{2} - 12 x - 8$ comme une fonction.

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 12 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x - 12$ et $0$ .

$6 x - 12$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 3.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$f'' (x) = 6$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 x - 12 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 12 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 6 x - 12 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $6 x - 12$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x - 12$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x - 12 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 12$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $6 x = 12$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 12$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Divisez $12$ par $6$ .

$x = 2$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6$

Étape 10

$x = 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 - 8$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 - 8$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f (2) = 12 - 12 \cdot 2 - 8$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$f (2) = 12 - 24 - 8$

Étape 11.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $24$ de $12$ .

$f (2) = - 12 - 8$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $8$ de $- 12$ .

$f (2) = - 20$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 20$ .

$y = - 20$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$ .

$(2, - 20)$ est un minimum local

Étape 13