Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$

Étape 1

Écrivez $3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$ comme une fonction.

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2016]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [2016]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $2016$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2016$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $12 x^{3} - 48 x^{2}$ et $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{3} - 48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $- 48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$12 x^{3} - 48 x^{2} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 16 x^{3} + 2016$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2016]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2016]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 16$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [2016]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $2016$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2016$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $12 x^{3} - 48 x^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{3} - 48 x^{2}$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{3} - 48 x^{2} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{3} - 48 x^{2} = 0$

Étape 6.2

Factorisez $12 x^{2}$ à partir de $12 x^{3} - 48 x^{2}$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $12 x^{2}$ à partir de $12 x^{3}$ .

$12 x^{2} (x) - 48 x^{2} = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $12 x^{2}$ à partir de $- 48 x^{2}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 4) = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $12 x^{2}$ à partir de $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 4)$ .

$12 x^{2} (x - 4) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 6.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 6.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 6.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x^{2} (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 4$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$36 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$36 \cdot 0 - 96 \cdot 0$

Étape 10.1.2

Multipliez $36$ par $0$ .

$0 - 96 \cdot 0$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 96$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 10.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 11

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 11.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 11.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $12 x^{3} - 48 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 12 {(- 2)}^{3} - 48 {(- 2)}^{2}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = 12 \cdot - 8 - 48 {(- 2)}^{2}$

Étape 11.2.2.1.2

Multipliez $12$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = - 96 - 48 {(- 2)}^{2}$

Étape 11.2.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - 96 - 48 \cdot 4$

Étape 11.2.2.1.4

Multipliez $- 48$ par $4$ .

$f' (- 2) = - 96 - 192$

Étape 11.2.2.2

Soustrayez $192$ de $- 96$ .

$f' (- 2) = - 288$

Étape 11.2.2.3

La réponse finale est $- 288$ .

$- 288$

Étape 11.3

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, 4)$ dans la dérivée première $12 x^{3} - 48 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 12 {(2)}^{3} - 48 {(2)}^{2}$

Étape 11.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = 12 \cdot 8 - 48 {(2)}^{2}$

Étape 11.3.2.1.2

Multipliez $12$ par $8$ .

$f' (2) = 96 - 48 {(2)}^{2}$

Étape 11.3.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 96 - 48 \cdot 4$

Étape 11.3.2.1.4

Multipliez $- 48$ par $4$ .

$f' (2) = 96 - 192$

Étape 11.3.2.2

Soustrayez $192$ de $96$ .

$f' (2) = - 96$

Étape 11.3.2.3

La réponse finale est $- 96$ .

$- 96$

Étape 11.4

Remplacez tout nombre, tel que $6$ , de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée première $12 x^{3} - 48 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 11.4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = 12 {(6)}^{3} - 48 {(6)}^{2}$

Étape 11.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.4.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f' (6) = 12 \cdot 216 - 48 {(6)}^{2}$

Étape 11.4.2.1.2

Multipliez $12$ par $216$ .

$f' (6) = 2592 - 48 {(6)}^{2}$

Étape 11.4.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = 2592 - 48 \cdot 36$

Étape 11.4.2.1.4

Multipliez $- 48$ par $36$ .

$f' (6) = 2592 - 1728$

Étape 11.4.2.2

Soustrayez $1728$ de $2592$ .

$f' (6) = 864$

Étape 11.4.2.3

La réponse finale est $864$ .

$864$

Étape 11.5

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 11.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 4$ , $x = 4$ est un minimum local.

$x = 4$ est un minimum local

Étape 12