Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

Étape 1

Développez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ comme $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) d x$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1) d x$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1) d x$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$\int x^{2} x^{2} + 1 \cdot x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2 + 2} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 1.7

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int x^{4} + 1 x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 1.8

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 1.9

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Étape 1.10

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 d x$

Étape 1.11

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\int x^{4} + 2 x^{2} + 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{4} d x + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 2 x^{2} d x + \int d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{2} d x + \int d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

Étape 7.2

Simplifiez

$\frac{x^{5}}{5} + \frac{2 x^{3}}{3} + x + C$

Étape 7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + x + C$