Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2}}{3 - x^{3}} d x$

Étape 1

Réécrivez $x^{3}$ comme ${(x^{3})}^{1}$ .

$\int \frac{x^{2}}{3 - {(x^{3})}^{1}} d x$

Étape 2

Laissez $u_{1} = x^{3}$ . Alors $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{1} = x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 - {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez

$\int \frac{1}{3 - u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{3 - u_{1}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(3 - u_{1}) \cdot 3} d u_{1}$

Étape 3.3

Déplacez $3$ à gauche de $3 - u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 (3 - u_{1})} d u_{1}$

Étape 4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - u_{1}} d u_{1}$

Étape 5

Laissez $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Alors $d u_{2} = - d u_{1}$ , donc $- d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 5.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{1}{3} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} + C$

Étape 10

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 - u_{1}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - u_{1} |)}{3} + C$

Étape 10.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - x^{3} |)}{3} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - x^{3} |) + C$