Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} | x | d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale selon là où $x$ est positif et négatif.

$\int_{- 1}^{0} - x d x + \int_{0}^{1} x d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{- 1}^{0} x d x + \int_{0}^{1} x d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x d x$

Étape 4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \int_{0}^{1} x d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Étape 6.2

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$- ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$- (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.3.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- (0 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.3.4

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- - \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.3.6

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.3.8

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Étape 6.3.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 6.3.10

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

Étape 6.3.11

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0$

Étape 6.3.12

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 6.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 1}{2}$

Étape 6.3.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{2}$

Étape 6.3.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.15.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2}$

Étape 6.3.15.2

Réécrivez l’expression.

$1$

Étape 7