Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{5} \cos (x^{3}) d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{3}$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u$ .

$\int \frac{u}{3} \cos (u) d u$

Étape 2.2

Associez $\frac{u}{3}$ et $\cos (u)$ .

$\int \frac{u \cos (u)}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int u \cos (u) d u$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - \int \sin (u) d u)$

Étape 5

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$

Étape 6

Réécrivez $\frac{1}{3} (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$ comme $\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$ .

$\frac{1}{3} (u \sin (u) + \cos (u)) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}) + \cos (x^{3})) + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3})) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{3} (x^{3} \sin (x^{3}))$ .

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Étape 8.2.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{3}}{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Étape 8.2.2

Associez $\frac{x^{3}}{3}$ et $\sin (x^{3})$ .

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$

Étape 8.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $\cos (x^{3})$ .

$\frac{x^{3} \sin (x^{3})}{3} + \frac{\cos (x^{3})}{3} + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} x^{3} \sin (x^{3}) + \frac{1}{3} \cos (x^{3}) + C$