Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{e^{u}}{{(6 - e^{u})}^{2}} d u$

Étape 1

Laissez $u_{1} = 6 - e^{u}$ . Alors $d u_{1} = - e^{u} d u$ , donc $- \frac{1}{e^{u}} d u_{1} = d u$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u_{1} = 6 - e^{u}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $6 - e^{u}$ .

$\frac{d}{d u} [6 - e^{u}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - e^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{d}{d u} [6] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$ .

$\frac{d}{d u} [6] + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

Étape 1.1.2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $6$ par rapport à $u$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [- e^{u}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d u} [- e^{u}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , la dérivée de $- e^{u}$ par rapport à $u$ est $- \frac{d}{d u} [e^{u}]$ .

$0 - \frac{d}{d u} [e^{u}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 - e^{u}$

Étape 1.1.4

Soustrayez $e^{u}$ de $0$ .

$- e^{u}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Retirez ${u_{1}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1}$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1}$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1}$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- 2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réécrivez $- (- {u_{1}}^{- 1} + C)$ comme $- - \frac{1}{u_{1}} + C$ .

$- - \frac{1}{u_{1}} + C$

Étape 6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{1}{u_{1}} + C$

Étape 6.2.2

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $1$ .

$\frac{1}{u_{1}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 - e^{u}$ .

$\frac{1}{6 - e^{u}} + C$