Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale intégrale de -4 à 4 de racine carrée de 16-x^2 par rapport à x
Étape 1
Laissez , où . Puis . Depuis , est positif.
Étape 2
Simplifiez les termes.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 2.1
Simplifiez .
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Étape 2.1.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 2.1.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 2.1.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.1.3
Multipliez par .
Étape 2.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.5
Appliquez l’identité pythagoricienne.
Étape 2.1.6
Réécrivez comme .
Étape 2.1.7
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 2.2
Simplifiez
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Étape 2.2.1
Multipliez par .
Étape 2.2.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.3
Élevez à la puissance .
Étape 2.2.4
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 2.2.5
Additionnez et .
Étape 3
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 4
Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire en .
Étape 5
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 6
Simplifiez
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Étape 6.1
Associez et .
Étape 6.2
Annulez le facteur commun à et .
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Étape 6.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.2
Annulez les facteurs communs.
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Étape 6.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 6.2.2.4
Divisez par .
Étape 7
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 8
Appliquez la règle de la constante.
Étape 9
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
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Étape 9.1
Laissez . Déterminez .
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Étape 9.1.1
Différenciez .
Étape 9.1.2
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 9.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 9.1.4
Multipliez par .
Étape 9.2
Remplacez la limite inférieure pour dans .
Étape 9.3
Annulez le facteur commun de .
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Étape 9.3.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 9.3.2
Annulez le facteur commun.
Étape 9.3.3
Réécrivez l’expression.
Étape 9.4
Remplacez la limite supérieure pour dans .
Étape 9.5
Annulez le facteur commun de .
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Étape 9.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 9.5.2
Réécrivez l’expression.
Étape 9.6
Les valeurs déterminées pour et seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.
Étape 9.7
Réécrivez le problème en utilisant , et les nouvelles limites d’intégration.
Étape 10
Associez et .
Étape 11
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 12
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 13
Associez et .
Étape 14
Remplacez et simplifiez.
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Étape 14.1
Évaluez sur et sur .
Étape 14.2
Évaluez sur et sur .
Étape 14.3
Simplifiez
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Étape 14.3.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 14.3.2
Additionnez et .
Étape 14.3.3
Annulez le facteur commun de .
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Étape 14.3.3.1
Annulez le facteur commun.
Étape 14.3.3.2
Divisez par .
Étape 15
Simplifiez
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Étape 15.1
Simplifiez le numérateur.
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Étape 15.1.1
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.
Étape 15.1.2
La valeur exacte de est .
Étape 15.1.3
Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.
Étape 15.1.4
La valeur exacte de est .
Étape 15.1.5
Multipliez par .
Étape 15.1.6
Additionnez et .
Étape 15.2
Divisez par .
Étape 16
Additionnez et .
Étape 17
Le résultat peut être affiché en différentes formes.
Forme exacte :
Forme décimale :
Étape 18