Calcul infinitésimal Exemples

\int_{0}^{1} \arctan (x) d x

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , où

u = \arctan (x)

$u = \arctan (x)$ et

d v = 1

$d v = 1$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Associez

x

$x$ et

\frac{1}{x^{2} + 1}

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3

Laissez

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ . Alors

d u = 2 x d x

$d u = 2 x d x$ , donc

\frac{1}{2} d u = x d x

$\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec

u

$u$ et

d

$d$

u

$u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Laissez

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ . Déterminez

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Différenciez

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ .

\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ par rapport à

x

$x$ est

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ où

n = 2

$n = 2$ .

2 x + \frac{d}{d x} [1]

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.4

Comme

1

$1$ est constant par rapport à

x

$x$ , la dérivée de

1

$1$ par rapport à

x

$x$ est

0

$0$ .

2 x + 0

$2 x + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez

2 x

$2 x$ et

0

$0$ .

2 x

$2 x$

2 x

$2 x$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour

x

$x$ dans

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ .

u_{lower} = 0^{2} + 1

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Étape 3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

L’élévation de

0

$0$ à toute puissance positive produit

0

$0$ .

u_{lower} = 0 + 1

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 3.3.2

Additionnez

0

$0$ et

1

$1$ .

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour

x

$x$ dans

u = x^{2} + 1

$u = x^{2} + 1$ .

u_{upper} = 1^{2} + 1

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Étape 3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

u_{upper} = 1 + 1

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 3.5.2

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour

u_{lower}

$u_{lower}$ et

u_{upper}

$u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

u_{lower} = 1

$u_{lower} = 1$

u_{upper} = 2

$u_{upper} = 2$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant

u

$u$ ,

d u

$d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 4.2

Déplacez

2

$2$ à gauche de

u

$u$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Étape 5

Comme

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

u

$u$ , placez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Étape 6

L’intégrale de

\frac{1}{u}

$\frac{1}{u}$ par rapport à

u

$u$ est

\ln (| u |)

$\ln (| u |)$ .

\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Évaluez

\arctan (x) x

$\arctan (x) x$ sur

1

$1$ et sur

0

$0$ .

(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Étape 7.2

Évaluez

\ln (| u |)

$\ln (| u |)$ sur

2

$2$ et sur

1

$1$ .

(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Multipliez

\arctan (1)

$\arctan (1)$ par

1

$1$ .

\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.3.2

Multipliez

0

$0$ par

- 1

$- 1$ .

\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.3.3

Multipliez

0

$0$ par

\arctan (0)

$\arctan (0)$ .

\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.3.4

Additionnez

\arctan (1)

$\arctan (1)$ et

0

$0$ .

\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Étape 8.2

Associez

\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

2

$2$ est

2

$2$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

Étape 9.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

Étape 9.3

Divisez

2

$2$ par

1

$1$ .

\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

Étape 10

La valeur exacte de

\arctan (1)

$\arctan (1)$ est

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Forme décimale :

0.43882457 \dots

$0.43882457 \dots$