Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \arctan (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \arctan (x)$ et $d v = 1$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Associez $x$ et $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 3.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 3.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 4.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\arctan (x) x$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

Étape 7.2

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$(\arctan (1) \cdot 1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Multipliez $\arctan (1)$ par $1$ .

$\arctan (1) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.3.2

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\arctan (1) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.3.3

Multipliez $0$ par $\arctan (0)$ .

$\arctan (1) + 0 - \frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 7.3.4

Additionnez $\arctan (1)$ et $0$ .

$\arctan (1) - \frac{1}{2} (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (1) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Étape 8.2

Associez $\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

Étape 9

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Étape 9.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

Étape 9.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

Étape 9.3

Divisez $2$ par $1$ .

$\arctan (1) - \frac{\ln (2)}{2}$

Étape 10

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{4} - \frac{\ln (2)}{2}$

Forme décimale :

$0.43882457 \dots$