Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{5} \sqrt{y + 4} d y$

Étape 1

Laissez $u = y + 4$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = y + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 4$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Étape 1.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u = y + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Étape 1.3

Additionnez $0$ et $4$ .

$u_{lower} = 4$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u = y + 4$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

Étape 1.5

Additionnez $5$ et $4$ .

$u_{upper} = 9$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{4}^{9} \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $9$ et sur $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.6

Multipliez $2$ par $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.7

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 4.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.7.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.9

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.2.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.2.10.2

Réécrivez l’expression.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

Étape 4.2.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 8$

Étape 4.2.12

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$18 - 8 (\frac{2}{3})$

Étape 4.2.13

Associez $- 8$ et $\frac{2}{3}$ .

$18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Étape 4.2.14

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$18 + \frac{- 16}{3}$

Étape 4.2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$18 - \frac{16}{3}$

Étape 4.2.16

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

Étape 4.2.17

Associez $18$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

Étape 4.2.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

Étape 4.2.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.19.1

Multipliez $18$ par $3$ .

$\frac{54 - 16}{3}$

Étape 4.2.19.2

Soustrayez $16$ de $54$ .

$\frac{38}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{38}{3}$

Forme décimale :

$12.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$12 \frac{2}{3}$

Étape 6