Calcul infinitésimal Exemples

$y = 81 x$ , $y = x^{5}$ , $x = 0$ , $x = 3$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

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Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$81 x = x^{5}$

Étape 1.2

Résolvez $81 x = x^{5}$ pour $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $x^{5}$ des deux côtés de l’équation.

$81 x - x^{5} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $81 x - x^{5}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $81 x$ .

$x \cdot 81 - x^{5} = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{5}$ .

$x \cdot 81 + x (- x^{4}) = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 81 + x (- x^{4})$ .

$x (81 - x^{4}) = 0$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$x (9^{2} - x^{4}) = 0$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (9^{2} - {(x^{2})}^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 9$ et $b = x^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (9 - x^{2})) = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez.

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Étape 1.2.2.5.1

Simplifiez

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Étape 1.2.2.5.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x ((9 + x^{2}) (3^{2} - x^{2})) = 0$

Étape 1.2.2.5.1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.2.5.1.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x$ .

$x ((9 + x^{2}) ((3 + x) (3 - x))) = 0$

Étape 1.2.2.5.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x ((9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x)) = 0$

Étape 1.2.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$9 + x^{2} = 0$

$3 + x = 0$

$3 - x = 0 + y = x^{5}$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $9 + x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $9 + x^{2}$ égal à $0$ .

$9 + x^{2} = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $9 + x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 9$

Étape 1.2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 1.2.5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 1.2.5.2.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 1.2.5.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 1.2.5.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 1.2.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 1.2.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 1.2.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 1.2.6

Définissez $3 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $3 + x$ égal à $0$ .

$3 + x = 0$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.2.7

Définissez $3 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Définissez $3 - x$ égal à $0$ .

$3 - x = 0$

Étape 1.2.7.2

Résolvez $3 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.7.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 1.2.7.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.7.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.7.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.7.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 1.2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (9 + x^{2}) (3 + x) (3 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = {(0)}^{5}$

Étape 1.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans $y = {(0)}^{5}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{5}$

Étape 1.3.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 3 i$ .

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Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $3 i$ .

$y = {(3 i)}^{5}$

Étape 1.4.2

Simplifiez ${(3 i)}^{5}$ .

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Étape 1.4.2.1

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$y = 3^{5} i^{5}$

Étape 1.4.2.2

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$y = 243 i^{5}$

Étape 1.4.2.3

Factorisez $i^{4}$ .

$y = 243 (i^{4} i)$

Étape 1.4.2.4

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 1.4.2.4.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Étape 1.4.2.4.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Étape 1.4.2.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = 243 (1 i)$

Étape 1.4.2.5

Multipliez $i$ par $1$ .

$y = 243 i$

Étape 1.5

Évaluez $y$ quand $x = - 3 i$ .

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Étape 1.5.1

Remplacez $x$ par $- 3 i$ .

$y = {(- 3 i)}^{5}$

Étape 1.5.2

Simplifiez ${(- 3 i)}^{5}$ .

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Étape 1.5.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 3 i$ .

$y = {(- 3)}^{5} i^{5}$

Étape 1.5.2.2

Élevez $- 3$ à la puissance $5$ .

$y = - 243 i^{5}$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $i^{4}$ .

$y = - 243 (i^{4} i)$

Étape 1.5.2.4

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 1.5.2.4.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$y = - 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Étape 1.5.2.4.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = - 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Étape 1.5.2.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = - 243 (1 i)$

Étape 1.5.2.5

Multipliez $i$ par $1$ .

$y = - 243 i$

Étape 1.6

Évaluez $y$ quand $x = - 3$ .

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Étape 1.6.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{5}$

Étape 1.6.2

Élevez $- 3$ à la puissance $5$ .

$y = - 243$

Étape 1.7

Évaluez $y$ quand $x = 3$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$y = {(3)}^{5}$

Étape 1.7.2

Remplacez $x$ par $3$ dans $y = {(3)}^{5}$ et résolvez $y$ .

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Étape 1.7.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 3^{5}$

Étape 1.7.2.2

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$y = 243$

Étape 1.8

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 243 i, x = 3 i$

$y = - 243 i, x = - 3 i$

$y = - 243, x = - 3$

$y = 243, x = 3$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{3} 81 x d x - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $3$ .

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Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{3} 81 x - (x^{5}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $x^{5}$ .

$\int_{0}^{3} 81 x - x^{5} d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{3} 81 x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Étape 3.4

Comme $81$ est constant par rapport à $x$ , placez $81$ en dehors de l’intégrale.

$81 \int_{0}^{3} x d x + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$81 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Étape 3.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - x^{5} d x$

Étape 3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} x^{5} d x$

Étape 3.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3})$

Étape 3.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.9.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$81 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Étape 3.9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 3.9.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $0$ .

$81 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{6}}{6}]_{0}^{3})$

Étape 3.9.2.2

Évaluez $\frac{x^{6}}{6}$ sur $3$ et sur $0$ .

$81 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3

Simplifiez

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Étape 3.9.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 3.9.2.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$81 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$81 (\frac{9}{2} - 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$81 (\frac{9}{2} + 0) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.5

Additionnez $\frac{9}{2}$ et $0$ .

$81 (\frac{9}{2}) - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.6

Associez $81$ et $\frac{9}{2}$ .

$\frac{81 \cdot 9}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.7

Multipliez $81$ par $9$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3^{6}}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.8

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{729}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.9

Annulez le facteur commun à $729$ et $6$ .

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Étape 3.9.2.3.9.1

Factorisez $3$ à partir de $729$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 (243)}{6} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.2.3.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{729}{2} - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0^{6}}{6})$

Étape 3.9.2.3.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{6})$

Étape 3.9.2.3.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $6$ .

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Étape 3.9.2.3.11.1

Factorisez $6$ à partir de $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 (0)}{6})$

Étape 3.9.2.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.2.3.11.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Étape 3.9.2.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

Étape 3.9.2.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - \frac{0}{1})$

Étape 3.9.2.3.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} - 0)$

Étape 3.9.2.3.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{729}{2} - (\frac{243}{2} + 0)$

Étape 3.9.2.3.13

Additionnez $\frac{243}{2}$ et $0$ .

$\frac{729}{2} - \frac{243}{2}$

Étape 3.9.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{729 - 243}{2}$

Étape 3.9.2.3.15

Soustrayez $243$ de $729$ .

$\frac{486}{2}$

Étape 3.9.2.3.16

Annulez le facteur commun à $486$ et $2$ .

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Étape 3.9.2.3.16.1

Factorisez $2$ à partir de $486$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2}$

Étape 3.9.2.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.9.2.3.16.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 243}{2 (1)}$

Étape 3.9.2.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 243}{2 \cdot 1}$

Étape 3.9.2.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{243}{1}$

Étape 3.9.2.3.16.2.4

Divisez $243$ par $1$ .

$243$

Étape 4