Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x + y}{x - y}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + y$ et $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.3

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - y) (1 + 0) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $x - y$ par $1$ .

$\frac{x - y - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{x - y - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - y - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.7

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - y - (x + y) (1 + 0)}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x - y - (x + y) \cdot 1}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - y - (x + y)}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - y - x - y}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Associez les termes opposés dans $x - y - x - y$ .

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Étape 3.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{- y + 0 - y}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Additionnez $- y$ et $0$ .

$\frac{- y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$\frac{- 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 y}{{(x - y)}^{2}}$