Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sqrt{a \sqrt{b}}}{\sqrt[3]{a b}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{a \sqrt{b}}}{\sqrt[3]{a b}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{a b}}^{2}}{{\sqrt[3]{a b}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{a \sqrt{b}}}{\sqrt[3]{a b}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{a b}}^{2}}{{\sqrt[3]{a b}}^{2}}$

Étape 2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{a \sqrt{b}}}{\sqrt[3]{a b}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{a b}}^{2}}{{\sqrt[3]{a b}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{a \sqrt{b}} {\sqrt[3]{a b}}^{2}}{\sqrt[3]{a b} {\sqrt[3]{a b}}^{2}}$

Étape 2.2

Élevez $\sqrt[3]{a b}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{a \sqrt{b}} {\sqrt[3]{a b}}^{2}}{{\sqrt[3]{a b}}^{1} {\sqrt[3]{a b}}^{2}}$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{a \sqrt{b}} {\sqrt[3]{a b}}^{2}}{{\sqrt[3]{a b}}^{1 + 2}}$

Étape 2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{a \sqrt{b}} {\sqrt[3]{a b}}^{2}}{{\sqrt[3]{a b}}^{3}}$

Étape 2.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{a b}}^{3}$ comme $a b$ .

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Étape 2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{a b}$ comme ${(a b)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt{a \sqrt{b}} {\sqrt[3]{a b}}^{2}}{{({(a b)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{a \sqrt{b}} {\sqrt[3]{a b}}^{2}}{{(a b)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 2.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{\sqrt{a \sqrt{b}} {\sqrt[3]{a b}}^{2}}{{(a b)}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 2.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{a \sqrt{b}} {\sqrt[3]{a b}}^{2}}{{(a b)}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{a \sqrt{b}} {\sqrt[3]{a b}}^{2}}{{(a b)}^{1}}$

Étape 2.5.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{a \sqrt{b}} {\sqrt[3]{a b}}^{2}}{a b}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{a b}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(a b)}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{a \sqrt{b}} \sqrt[3]{{(a b)}^{2}}}{a b}$

Étape 3.2

Appliquez la règle de produit à $a b$ .

$\frac{\sqrt{a \sqrt{b}} \sqrt[3]{a^{2} b^{2}}}{a b}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $6$ .

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Étape 4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a \sqrt{b}}$ comme ${(a \sqrt{b})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(a \sqrt{b})}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{a^{2} b^{2}}}{a b}$

Étape 4.1.2

Réécrivez ${(a \sqrt{b})}^{\frac{1}{2}}$ comme ${(a \sqrt{b})}^{\frac{3}{6}}$ .

$\frac{{(a \sqrt{b})}^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{a^{2} b^{2}}}{a b}$

Étape 4.1.3

Réécrivez ${(a \sqrt{b})}^{\frac{3}{6}}$ comme $\sqrt[6]{{(a \sqrt{b})}^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[6]{{(a \sqrt{b})}^{3}} \sqrt[3]{a^{2} b^{2}}}{a b}$

Étape 4.1.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{a^{2} b^{2}}$ comme ${(a^{2} b^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[6]{{(a \sqrt{b})}^{3}} {(a^{2} b^{2})}^{\frac{1}{3}}}{a b}$

Étape 4.1.5

Réécrivez ${(a^{2} b^{2})}^{\frac{1}{3}}$ comme ${(a^{2} b^{2})}^{\frac{2}{6}}$ .

$\frac{\sqrt[6]{{(a \sqrt{b})}^{3}} {(a^{2} b^{2})}^{\frac{2}{6}}}{a b}$

Étape 4.1.6

Réécrivez ${(a^{2} b^{2})}^{\frac{2}{6}}$ comme $\sqrt[6]{{(a^{2} b^{2})}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[6]{{(a \sqrt{b})}^{3}} \sqrt[6]{{(a^{2} b^{2})}^{2}}}{a b}$

Étape 4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt[6]{{(a \sqrt{b})}^{3} {(a^{2} b^{2})}^{2}}}{a b}$

Étape 4.3

Appliquez la règle de produit à $a \sqrt{b}$ .

$\frac{\sqrt[6]{a^{3} {\sqrt{b}}^{3} {(a^{2} b^{2})}^{2}}}{a b}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $a^{2} b^{2}$ .

$\frac{\sqrt[6]{a^{3} {\sqrt{b}}^{3} {(a^{2})}^{2} {(b^{2})}^{2}}}{a b}$

Étape 4.5

Réécrivez ${\sqrt{b}}^{3}$ comme $\sqrt{b^{3}}$ .

$\frac{\sqrt[6]{a^{3} \sqrt{b^{3}} {(a^{2})}^{2} {(b^{2})}^{2}}}{a b}$

Étape 4.6

Factorisez $b^{2}$ .

$\frac{\sqrt[6]{a^{3} \sqrt{b^{2} b} {(a^{2})}^{2} {(b^{2})}^{2}}}{a b}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt[6]{a^{3} (b \sqrt{b}) {(a^{2})}^{2} {(b^{2})}^{2}}}{a b}$

Étape 4.8

Multipliez les exposants dans ${(a^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[6]{a^{3} (b \sqrt{b}) a^{2 \cdot 2} {(b^{2})}^{2}}}{a b}$

Étape 4.8.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt[6]{a^{3} (b \sqrt{b}) a^{4} {(b^{2})}^{2}}}{a b}$

Étape 4.9

Multipliez les exposants dans ${(b^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[6]{a^{3} (b \sqrt{b}) a^{4} b^{2 \cdot 2}}}{a b}$

Étape 4.9.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt[6]{a^{3} (b \sqrt{b}) a^{4} b^{4}}}{a b}$

$\frac{\sqrt[6]{a^{3} b \sqrt{b} a^{4} b^{4}}}{a b}$

Étape 4.10

Associez les exposants.

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Étape 4.10.1

Multipliez $a^{3}$ par $a^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.10.1.1

Déplacez $a^{4}$ .

$\frac{\sqrt[6]{a^{4} a^{3} b \sqrt{b} b^{4}}}{a b}$

Étape 4.10.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt[6]{a^{4 + 3} b \sqrt{b} b^{4}}}{a b}$

Étape 4.10.1.3

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{\sqrt[6]{a^{7} b \sqrt{b} b^{4}}}{a b}$

Étape 4.10.2

Multipliez $b$ par $b^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.10.2.1

Déplacez $b^{4}$ .

$\frac{\sqrt[6]{a^{7} (b^{4} b) \sqrt{b}}}{a b}$

Étape 4.10.2.2

Multipliez $b^{4}$ par $b$ .

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Étape 4.10.2.2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt[6]{a^{7} (b^{4} b^{1}) \sqrt{b}}}{a b}$

Étape 4.10.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt[6]{a^{7} b^{4 + 1} \sqrt{b}}}{a b}$

Étape 4.10.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{\sqrt[6]{a^{7} b^{5} \sqrt{b}}}{a b}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $a^{7} b^{5} \sqrt{b}$ comme $a^{6} (a b^{5} \sqrt{b})$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $a^{6}$ .

$\frac{\sqrt[6]{a^{6} a b^{5} \sqrt{b}}}{a b}$

Étape 5.1.2

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{\sqrt[6]{a^{6} a (b^{5} \sqrt{b})}}{a b}$

Étape 5.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{\sqrt[6]{a^{6} (a b^{5} \sqrt{b})}}{a b}$

Étape 5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{a \sqrt[6]{a b^{5} \sqrt{b}}}{a b}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a \sqrt[6]{a b^{5} \sqrt{b}}}{a b}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt[6]{a b^{5} \sqrt{b}}}{b}$