Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{5}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{5}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 5 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 5 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3}$ .

$- 5 x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 5 x^{- 2} - 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3}$ .

$- 5 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 5 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 x^{- 2} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 5 x^{- 2} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 5 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.7

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 5 x^{- 2} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- 5 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.8

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{4}$ .

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{4}$ .

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})$

Étape 4.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})$

Étape 4.4.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{- 8} (4 x^{3})$

Étape 4.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 8} x^{3}$

Étape 4.6

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 (x^{3} x^{- 8})$

Étape 4.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{3 - 8}$

Étape 4.6.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 x^{- 5}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 5.4

Associez des termes.

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Étape 5.4.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 5.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 5.4.3

Associez $6$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 5.4.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} + \frac{- 4}{x^{5}}$

Étape 5.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - \frac{4}{x^{5}}$