Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{2} = 4$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x y y' + y^{2} \cdot 1$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$2 x y y' + y^{2}$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{2} + 2 x y y'$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y^{2} + 2 x y y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y y' = - y^{2}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 x y y' = - y^{2}$ par $2 x y$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x y y' = - y^{2}$ par $2 x y$ .

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x y y'}{2 x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y y'}{x y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.2.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{2 x y}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y)}{2 x y}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x y$ .

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (- y)}{y (2 x)}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{2 x}$

Étape 5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{2 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{2 x}$