Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{e^{2 x} + e^{- 2 x}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . Alors $d u_{3} = (2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + e^{- 2 x}]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 1.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 1.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 1.1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 1.1.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 1.1.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 1.1.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.1.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.1.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.1.4.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Étape 1.1.4.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Étape 1.1.4.5

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$u_{lower} = e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = e^{0} + e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 1.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$u_{lower} = 1 + e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

Étape 1.3.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{lower} = 2$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ .

$u_{upper} = e^{2 \cdot 1} + e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2 \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ , $d u_{3}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{3}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3}$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{3}$ .

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{3}}$ par rapport à $u_{3}$ est $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)]_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}$

Étape 5

Évaluez $\ln (| u_{3} |)$ sur $e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ et sur $2$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |) - \ln (| 2 |))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})}{2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

$e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ est d’environ $7.52439138$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{\ln (\frac{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Étape 7.1.2

Pour écrire $e^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{2}}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2}}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Étape 7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Étape 7.1.4

Multipliez $e^{2}$ par $e^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2 + 2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Étape 7.1.4.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

Étape 7.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{2})}{2}$

Étape 7.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2})}{2}$

Étape 7.4

Multipliez $\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2} \cdot 2})}{2}$

Étape 7.5

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2}$ .

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

Forme décimale :

$0.66250137 \dots$

Étape 9