Calcul infinitésimal Exemples

$x = \tan (y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\sec^{2} (y) y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \sec^{2} (y) y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\sec^{2} (y) y' = 1$ .

$\sec^{2} (y) y' = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $\sec^{2} (y) y' = 1$ par $\sec^{2} (y)$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $\sec^{2} (y) y' = 1$ par $\sec^{2} (y)$ .

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\sec^{2} (y)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec^{2} (y) y'}{\sec^{2} (y)} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{\sec^{2} (y)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ comme ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$y' = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez $\sec (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2}$

Étape 5.2.3.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = {(1 \cos (y))}^{2}$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $\cos (y)$ par $1$ .

$y' = \cos^{2} (y)$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (y)$