Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{0} t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{2}{3}} d t$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{0} t^{\frac{1}{3}} d t + \int_{- 1}^{0} - t^{\frac{2}{3}} d t$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $t$ est $\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - t^{\frac{2}{3}} d t$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} t^{\frac{2}{3}} d t$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $t$ est $\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} - (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{0})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{3}{5}$ et $t^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} - (\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{0})$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{0})$

Étape 5.2.2

Évaluez $\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}$ sur $0$ et sur $- 1$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} \cdot 0^{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot 0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $0$ .

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.6

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$0 - \frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.9

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$0 - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.11

Soustrayez $\frac{3}{4}$ de $0$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.12

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.13

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.14

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.14.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.14.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.15

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.16

Multipliez $3$ par $0$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{0}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.17

Annulez le facteur commun à $0$ et $5$ .

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Étape 5.2.3.17.1

Factorisez $5$ à partir de $0$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{5 (0)}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.17.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$- \frac{3}{4} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{4} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.17.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.18

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Étape 5.2.3.19

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Étape 5.2.3.20

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.20.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Étape 5.2.3.20.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5})$

Étape 5.2.3.21

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 \cdot - 1}{5})$

Étape 5.2.3.22

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{- 3}{5})$

Étape 5.2.3.23

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4} - (0 - - \frac{3}{5})$

Étape 5.2.3.24

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{3}{4} - (0 + 1 (\frac{3}{5}))$

Étape 5.2.3.25

Multipliez $\frac{3}{5}$ par $1$ .

$- \frac{3}{4} - (0 + \frac{3}{5})$

Étape 5.2.3.26

Additionnez $0$ et $\frac{3}{5}$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{3}{5}$

Étape 5.2.3.27

Pour écrire $- \frac{3}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{3}{5}$

Étape 5.2.3.28

Pour écrire $- \frac{3}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 5.2.3.29

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $20$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.3.29.1

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 5.2.3.29.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{20} - \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 5.2.3.29.3

Multipliez $\frac{3}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{20} - \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4}$

Étape 5.2.3.29.4

Multipliez $5$ par $4$ .

$- \frac{3 \cdot 5}{20} - \frac{3 \cdot 4}{20}$

Étape 5.2.3.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 \cdot 5 - 3 \cdot 4}{20}$

Étape 5.2.3.31

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.31.1

Multipliez $- 3$ par $5$ .

$\frac{- 15 - 3 \cdot 4}{20}$

Étape 5.2.3.31.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{- 15 - 12}{20}$

Étape 5.2.3.31.3

Soustrayez $12$ de $- 15$ .

$\frac{- 27}{20}$

Étape 5.2.3.32

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{27}{20}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{27}{20}$

Forme décimale :

$- 1.35$

Forme de nombre mixte :

$- 1 \frac{7}{20}$

Étape 7