Calcul infinitésimal Exemples

$\int t e^{- 7 t} d t$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{- 7 t}$ .

$t (- \frac{1}{7} e^{- 7 t}) - \int - \frac{1}{7} e^{- 7 t} d t$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $e^{- 7 t}$ et $\frac{1}{7}$ .

$t (- \frac{e^{- 7 t}}{7}) - \int - \frac{1}{7} e^{- 7 t} d t$

Étape 2.2

Associez $t$ et $\frac{e^{- 7 t}}{7}$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} - \int - \frac{1}{7} e^{- 7 t} d t$

Étape 3

Comme $- \frac{1}{7}$ est constant par rapport à $t$ , placez $- \frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} - (- \frac{1}{7} \int e^{- 7 t} d t)$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} + 1 (\frac{1}{7} \int e^{- 7 t} d t)$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $1$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} + \frac{1}{7} \int e^{- 7 t} d t$

Étape 5

Laissez $u = - 7 t$ . Alors $d u = - 7 d t$ , donc $- \frac{1}{7} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = - 7 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $- 7 t$ .

$\frac{d}{d t} [- 7 t]$

Étape 5.1.2

Comme $- 7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 7 t$ par rapport à $t$ est $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 7 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 7 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$- 7$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} + \frac{1}{7} \int e^{u} \frac{1}{- 7} d u$

Étape 6

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} + \frac{1}{7} \int e^{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Étape 6.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} + \frac{1}{7} \int - \frac{e^{u}}{7} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} + \frac{1}{7} (- \int \frac{e^{u}}{7} d u)$

Étape 8

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} + \frac{1}{7} (- (\frac{1}{7} \int e^{u} d u))$

Étape 9

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} - \frac{1}{7 \cdot 7} \int e^{u} d u$

Étape 9.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} - \frac{1}{49} \int e^{u} d u$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{t e^{- 7 t}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

Réécrivez $- \frac{t e^{- 7 t}}{7} - \frac{1}{49} (e^{u} + C)$ comme $- \frac{1}{7} t e^{- 7 t} - \frac{1}{49} e^{u} + C$ .

$- \frac{1}{7} t e^{- 7 t} - \frac{1}{49} e^{u} + C$

Étape 11.2

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Étape 11.2.1

Associez $t$ et $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{t}{7} e^{- 7 t} - \frac{1}{49} e^{u} + C$

Étape 11.2.2

Associez $e^{- 7 t}$ et $\frac{t}{7}$ .

$- \frac{e^{- 7 t} t}{7} - \frac{1}{49} e^{u} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 7 t$ .

$- \frac{e^{- 7 t} t}{7} - \frac{1}{49} e^{- 7 t} + C$

Étape 13

Associez $e^{- 7 t}$ et $\frac{1}{49}$ .

$- \frac{e^{- 7 t} t}{7} - \frac{e^{- 7 t}}{49} + C$

Étape 14

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{7} e^{- 7 t} t - \frac{1}{49} e^{- 7 t} + C$