Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{8} \ln (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{8}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{9} x^{9}) - \int \frac{1}{9} x^{9} \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{9}$ et $x^{9}$ .

$\ln (x) \frac{x^{9}}{9} - \int \frac{1}{9} x^{9} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{9}}{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \int \frac{1}{9} x^{9} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int x^{9} \frac{1}{x} d x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $x^{9}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x^{9}}{x} d x)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{9}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x \cdot x^{8}}{x} d x)$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x \cdot x^{8}}{x^{1}} d x)$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int \frac{x^{8}}{1} d x)$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x^{8}$ par $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - (\frac{1}{9} \int x^{8} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{9} \int x^{8} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{9} x^{9} + C)$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{9} x^{9} + C)$ comme $\frac{1}{9} \ln (x) x^{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C$ .

$\frac{1}{9} \ln (x) x^{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{1}{9}$ et $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{9} x^{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{\ln (x)}{9}$ et $x^{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C$

Étape 6.2.3

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} x^{9} + C$

Étape 6.2.4

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{\ln (x) x^{9}}{9} - \frac{1}{81} x^{9} + C$

$\frac{1}{9} \ln (x) x^{9} - \frac{1}{81} x^{9} + C$