Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Étape 1.3

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Étape 1.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{3}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u^{3}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $u^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} {(u^{3})}^{- 1} d u$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3 \cdot - 1} d u$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{- 3} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 3}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{2}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ sur $2$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 6.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 6.2.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 6.2.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

Étape 6.2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Étape 6.2.6

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2})$

Étape 6.2.7

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

Étape 6.2.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4})$

Étape 6.2.8.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{8})$

Étape 6.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4}{8}$

Étape 6.2.10

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

Étape 6.2.11

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{8}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 8}$

Étape 6.2.12

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{3}{16}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{16}$

Forme décimale :

$0.1875$

Étape 8