Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x^{3}}}}{x^{4}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{1}{x^{3}}$ . Alors $d u = - \frac{3}{x^{4}} d x$ , donc $1 d u = - \frac{3}{x^{4}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{1}{x^{3}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 1.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Étape 1.1.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Étape 1.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{1}{x^{3}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1^{3}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Étape 1.3.2

Divisez $1$ par $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{1}{x^{3}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2^{3}}$

Étape 1.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$u_{upper} = \frac{1}{8}$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{8}$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{\frac{1}{8}} - \frac{1}{3} e^{u} d u$

Étape 2

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $- \frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{3} \int_{1}^{\frac{1}{8}} e^{u} d u$

Étape 3

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{\frac{1}{8}}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $e^{u}$ sur $\frac{1}{8}$ et sur $1$ .

$- \frac{1}{3} ((e^{\frac{1}{8}}) - e^{1})$

Étape 4.2

Simplifiez

$- \frac{1}{3} (e^{\frac{1}{8}} - e)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{3} e^{\frac{1}{8}} - \frac{1}{3} (- e)$

Étape 5.2

Associez $e^{\frac{1}{8}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} - \frac{1}{3} (- e)$

Étape 5.3

Multipliez $- \frac{1}{3} (- e)$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + 1 (\frac{1}{3}) e$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + \frac{1}{3} e$

Étape 5.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $e$ .

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + \frac{e}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{e^{\frac{1}{8}}}{3} + \frac{e}{3}$

Forme décimale :

$0.52837779 \dots$

Étape 7