Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\ln^{2} (x)}{x^{3}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int \ln^{2} (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \ln^{2} (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int \ln^{2} (x) x^{- 3} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln^{2} (x)$ et $d v = x^{- 3}$ .

$\ln^{2} (x) (- \frac{1}{2 x^{2}}) - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez $\ln^{2} (x)$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ par $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{x (2 x^{2})} d x$

Étape 3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{2 x^{1 + 2}} d x$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{\ln (x^{2})}{2 x^{3}} d x$

Étape 4

Réécrivez $- \frac{\ln (x^{2})}{2 x^{3}}$ comme $- \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}} d x$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Simplifiez

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{2 \ln (x)}{2 x^{3}} d x$

Étape 6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + 1 \int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Étape 6.1.3

Multipliez $\int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$ par $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Étape 6.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 6.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \int \ln (x) x^{- 3} d x$

Étape 7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{- 3}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} + \ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}}) - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\ln (x)$ et $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x$

Étape 8.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x$

Étape 8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x$

Étape 8.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \int - \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - - \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + 1 \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Étape 10.2

Multipliez $\int \frac{1}{2 x^{3}} d x$ par $1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \int \frac{1}{2 x^{3}} d x$

Étape 11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 12

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 12.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 12.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 12.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 12.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} \int x^{- 3} d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Réécrivez $- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$ comme $- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}}) + C$

Étape 14.2

Simplifiez

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Étape 14.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{x^{2} \cdot 2}) + C$

Étape 14.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot x^{2}}) + C$

Étape 14.2.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 (2 x^{2})} + C$

Étape 14.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\ln^{2} (x)}{2 x^{2}} - \frac{\ln (x)}{2 x^{2}} - \frac{1}{4 x^{2}} + C$