Calcul infinitésimal Exemples

\int {csc}^{3} (x) d x

$\int \csc^{3} (x) d x$

Étape 1

Appliquez la formule de réduction.

- \frac{cot (x) csc (x)}{2} + \frac{1}{2} \int csc (x) d x

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} \int \csc (x) d x$

Étape 2

L’intégrale de

csc (x)

$\csc (x)$ par rapport à

x

$x$ est

ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

- \frac{cot (x) csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (ln (| csc (x) - cot (x) |) + C)

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Réécrivez

- \frac{cot (x) csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (ln (| csc (x) - cot (x) |) + C)

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$ comme

- \frac{1}{2} cot (x) csc (x) + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) + C

$- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ .

- \frac{1}{2} cot (x) csc (x) + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) + C

$- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Associez

cot (x)

$\cot (x)$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

- \frac{cot (x)}{2} csc (x) + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) + C

$- \frac{\cot (x)}{2} \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Étape 3.2.2

Associez

csc (x)

$\csc (x)$ et

\frac{cot (x)}{2}

$\frac{\cot (x)}{2}$ .

- \frac{csc (x) cot (x)}{2} + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) + C

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Étape 3.2.3

Pour écrire

\frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

- \frac{csc (x) cot (x)}{2} + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) \cdot \frac{2}{2} + C

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 3.2.4

Associez

\frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ et

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

- \frac{csc (x) cot (x)}{2} + \frac{\frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) \cdot 2}{2} + C

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{- csc (x) cot (x) + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) \cdot 2}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

Étape 3.2.6

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

\frac{- csc (x) cot (x) + \frac{ln (| csc (x) - cot (x) |)}{2} \cdot 2}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} \cdot 2}{2} + C$

Étape 3.2.7

Associez

\frac{ln (| csc (x) - cot (x) |)}{2}

$\frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}$ et

2

$2$ .

\frac{- csc (x) cot (x) + \frac{ln (| csc (x) - cot (x) |) \cdot 2}{2}}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2}}{2} + C$

Étape 3.2.8

Déplacez

2

$2$ à gauche de

ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

\frac{- csc (x) cot (x) + \frac{2 \cdot ln (| csc (x) - cot (x) |)}{2}}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \cdot \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

Étape 3.2.9

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 3.2.9.1

Annulez le facteur commun.

\frac{- csc (x) cot (x) + \frac{2 ln (| csc (x) - cot (x) |)}{2}}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

Étape 3.2.9.2

Divisez

ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ par

$1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} + C$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} (- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)) + C$