Calcul infinitésimal Exemples

$\int \csc^{3} (x) d x$

Étape 1

Appliquez la formule de réduction.

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} \int \csc (x) d x$

Étape 2

L’intégrale de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Réécrivez $- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$ comme $- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ .

$- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Associez $\cot (x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\cot (x)}{2} \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Étape 3.2.2

Associez $\csc (x)$ et $\frac{\cot (x)}{2}$ .

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

Étape 3.2.3

Pour écrire $\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

Étape 3.2.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} \cdot 2}{2} + C$

Étape 3.2.7

Associez $\frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}$ et $2$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2}}{2} + C$

Étape 3.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \cdot \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

Étape 3.2.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

Étape 3.2.9.2

Divisez $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ par $1$ .

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} + C$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} (- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)) + C$