Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} (4 x^{2} - 1) (x + 3) d x$

Étape 1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} (x + 3) - 1 (x + 3) d x$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 3 - 1 (x + 3) d x$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Étape 1.4

Déplacez $x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 (x^{2} x^{1}) + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2 + 1} + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Étape 1.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Étape 1.8

Multipliez $4$ par $3$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

Étape 1.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - 1 x - 3 d x$

Étape 2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - x - 3 d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Étape 7

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Étape 9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Étape 12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

Étape 13

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Étape 14

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Étape 14.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Étape 14.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

Étape 14.4

Évaluez $- 3 x$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$4 (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 \frac{1 - 1}{4} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$4 (\frac{0}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.5

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.5.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$4 \frac{4 (0)}{4} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$4 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{0}{1}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.5.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$4 \cdot 0 + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.6

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 + 12 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$0 + 12 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 + 12 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 12 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.11

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$0 + 12 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + 12 \frac{1 + 1}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$0 + 12 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.14

Associez $12$ et $\frac{2}{3}$ .

$0 + \frac{12 \cdot 2}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.15

Multipliez $12$ par $2$ .

$0 + \frac{24}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.16

Annulez le facteur commun à $24$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.16.1

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.16.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.16.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3 (1)} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{8}{1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.16.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$0 + 8 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.17

Additionnez $0$ et $8$ .

$8 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.18

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$8 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.19

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$8 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 - \frac{1 - 1}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.21

Soustrayez $1$ de $1$ .

$8 - \frac{0}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.22

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.22.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$8 - \frac{2 (0)}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.22.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.22.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.22.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.22.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 - \frac{0}{1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.22.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$8 - 0 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.23

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$8 + 0 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.24

Additionnez $8$ et $0$ .

$8 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.25

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$8 - 3 + 3 \cdot - 1$

Étape 14.5.26

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$8 - 3 - 3$

Étape 14.5.27

Soustrayez $3$ de $- 3$ .

$8 - 6$

Étape 14.5.28

Soustrayez $6$ de $8$ .

$2$

Étape 15