Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = y$ .

$- x^{- 2} + \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- x^{- 2} + \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.4

Multipliez $y$ par $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- x^{- 2} + \frac{0 - y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.6

Soustrayez $y'$ de $0$ .

$- x^{- 2} + \frac{- y'}{y^{2}}$

Étape 2.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- x^{- 2} - \frac{y'}{y^{2}}$

Étape 2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{y'}{y^{2}}$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{y'}{y^{2}} = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $\frac{1}{x^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$- \frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{y'}{y^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{y'}{y^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{y'}{y^{2}}}{1} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $\frac{y'}{y^{2}}$ par $1$ .

$\frac{y'}{y^{2}} = \frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} = - 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ comme $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} = - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y^{2}} y^{2} = - \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Étape 5.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{1}{x^{2}} y^{2}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x^{2}}$