Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} - x y + y^{2} = 4$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x y + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} - (x y' + y) + 2 y y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - (x y') - y + 2 y y'$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 x^{2} - x y' - y + 2 y y'$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} - x y' + 2 y y' - y$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} - x y' + 2 y y' - y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- x y' + 2 y y' - y = - 3 x^{2}$

Étape 5.1.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' + 2 y y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $- x y'$ .

$y' (- x) + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y'$ .

$y' (- x) + y' (2 y) = - 3 x^{2} + y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- x) + y' (2 y)$ .

$y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ par $- x + 2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ par $- x + 2 y$ .

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- x + 2 y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y}{- x + 2 y}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y}{- x + 2 y}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- y)}{- x + 2 y}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

Étape 5.3.3.5

Réécrivez $- (3 x^{2} - y)$ comme $- 1 (3 x^{2} - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

Étape 5.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) + 2 y}$

Étape 5.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) - (- 2 y)}$

Étape 5.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x - 2 y)}$

Étape 5.3.3.9

Réécrivez $- (x - 2 y)$ comme $- 1 (x - 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

Étape 5.3.3.10

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

Étape 5.3.3.11

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$