Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y + x y^{2} = 6$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + x y^{2}) = \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y + x y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} y' + 2 y x + x (2 y y') + y^{2} \cdot 1$

Étape 2.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1$

Étape 2.3.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 x y y' + y^{2}$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y'$

Étape 3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x y y' = - y^{2}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} y' + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

Étape 5.2

Factorisez $x y'$ à partir de $x^{2} y' + 2 x y y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x y'$ à partir de $x^{2} y'$ .

$x y' x + 2 x y y' = - y^{2} - 2 x y$

Étape 5.2.2

Factorisez $x y'$ à partir de $2 x y y'$ .

$x y' x + x y' (2 y) = - y^{2} - 2 x y$

Étape 5.2.3

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' x + x y' (2 y)$ .

$x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ par $x (x + 2 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x y' (x + 2 y) = - y^{2} - 2 x y$ par $x (x + 2 y)$ .

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x + 2 y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} + \frac{- 2 y}{x + 2 y}$

Étape 5.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x (x + 2 y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{2 y}{x + 2 y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x + 2 y) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)} - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y^{2} - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} - 2 y x$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) - 2 y x}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (- 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- y) + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) - 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (2 x))}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.9.1

Réécrivez $- (y + 2 x)$ comme $- 1 (y + 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y + 2 x))}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + 2 x)}{x (x + 2 y)}$