Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{2 x + 1}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{2 x + 1}$ comme ${(2 x + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$- {(2 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(2 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(2 x + 1)}^{- 2} (2 + 0)$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- {(2 x + 1)}^{- 2} \cdot 2$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 {(2 x + 1)}^{- 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(2 x + 1)}^{2}}$