Calcul infinitésimal Exemples

$y = x$ , $y = \sqrt{x}$

Étape 1

Résolvez par substitution afin de déterminer l’intersection entre les courbes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Éliminez les côtés égaux de chaque équation et associez.

$x = \sqrt{x}$

Étape 1.2

Résolvez $x = \sqrt{x}$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{x} = x$

Étape 1.2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x}}^{2} = x^{2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Simplifiez

$x = x^{2}$

Étape 1.2.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x - x^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$u - u^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2.2

Factorisez $u$ à partir de $u - u^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2.2.2

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2.2.3

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Étape 1.2.4.2.2.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

Étape 1.2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$x (1 - x) = 0$

Étape 1.2.4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0 + y = \sqrt{x}$

Étape 1.2.4.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.4.5

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.5.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 1.2.4.5.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 1.2.4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.4.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 1.2.4.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.5.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 1.2.4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (1 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 1.3

Évaluez $y$ quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$y = \sqrt{0}$

Étape 1.3.2

Simplifiez $\sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \sqrt{0}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 0$

Étape 1.4

Évaluez $y$ quand $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$y = \sqrt{1}$

Étape 1.4.2

Simplifiez $\sqrt{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \sqrt{1}$

Étape 1.4.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = 1$

Étape 1.5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Étape 2

L’aire de la région entre les courbes est définie comme l’intégrale de la courbe supérieure moins l’intégrale de la courbe inférieure sur chaque région. Les régions sont déterminées par les points d’intersection des courbes. Cela peut être fait de manière algébrique ou graphique.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x - \int_{0}^{1} x d x$

Étape 3

Intégrez pour déterminer l’aire entre $0$ et $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Associez les intégrales en une intégrale unique.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - (x) d x$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} - x d x$

Étape 3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Étape 3.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Étape 3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x d x$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x d x$

Étape 3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Étape 3.8

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 3.8.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.1

Évaluez $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Étape 3.8.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.7

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.8

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.9

Additionnez $\frac{2}{3}$ et $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Étape 3.8.2.3.11

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Étape 3.8.2.3.12

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.3.12.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Étape 3.8.2.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.3.12.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 3.8.2.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 3.8.2.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Étape 3.8.2.3.12.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} - 0)$

Étape 3.8.2.3.13

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{2}{3} - (\frac{1}{2} + 0)$

Étape 3.8.2.3.14

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{2}$

Étape 3.8.2.3.15

Pour écrire $\frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 3.8.2.3.16

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.8.2.3.17

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.3.17.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.8.2.3.17.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.8.2.3.17.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Étape 3.8.2.3.17.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Étape 3.8.2.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 2 - 3}{6}$

Étape 3.8.2.3.19

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.2.3.19.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 - 3}{6}$

Étape 3.8.2.3.19.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 4