Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Étape 1.3.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$1 + \ln (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Étape 2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$1 + \ln (x) = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 + \ln (x) = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (x) = - 1$

Étape 5.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (x) = - 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Étape 5.5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Étape 5.5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 6.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = \frac{1}{e}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{1}{e}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{1}{\frac{1}{e}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 e$

Étape 9.2

Multipliez $e$ par $1$ .

$e$

Étape 10

$x = \frac{1}{e}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{1}{e}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{1}{e}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{e}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Réécrivez $\frac{1}{e}$ comme $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Étape 11.2.2

Réécrivez $\ln (1 e^{- 1})$ comme $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Étape 11.2.3

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Étape 11.2.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Étape 11.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Étape 11.2.6

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 1)$

Étape 11.2.7

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 1$

Étape 11.2.8

Associez $\frac{1}{e}$ et $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 1}{e}$

Étape 11.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$

Étape 11.2.10

La réponse finale est $- \frac{1}{e}$ .

$y = - \frac{1}{e}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$ est un minimum local

Étape 13