Calcul infinitésimal Exemples

$\int (x + 1) e^{4 x^{2} + 8 x} d x$

Étape 1

Laissez $u = 4 x^{2} + 8 x$ . Alors $d u = (8 x + 8) d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = (x + 1) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 4 x^{2} + 8 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $4 x^{2} + 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 8 x]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 x + 8 \cdot 1$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 x + 8$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{8} d u$

Étape 2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{e^{u}}{8} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} \int e^{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u} + C)$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{1}{8} e^{u} + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{2} + 8 x$ .

$\frac{1}{8} e^{4 x^{2} + 8 x} + C$