Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \sin^{3} (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \sin^{3} (x)$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - \int - \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\int - \cos (x) d x + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \int \cos (x) d x + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

Étape 4

L’intégrale de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

Étape 5

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int \cos^{3} (x) d x)$

Étape 6

Factorisez $\cos^{2} (x)$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int \cos^{2} (x) \cos (x) d x)$

Étape 7

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (x)$ comme $1 - \sin^{2} (x)$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x)$

Étape 8

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 8.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int 1 - u^{2} d u)$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (\int d u + \int - u^{2} d u))$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C + \int - u^{2} d u))$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C - \int u^{2} d u))$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)))$

Étape 13

Simplifiez

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (u - \frac{1}{3} u^{3})) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x))) + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Associez $\sin^{3} (x)$ et $\frac{1}{3}$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (\sin (x) - \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

Étape 15.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} \sin (x) + \frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

Étape 15.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

Étape 15.1.4

Multipliez $\frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})$ .

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Étape 15.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{\sin^{3} (x)}{3}$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{3 \cdot 3}) + C$

Étape 15.1.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Étape 15.2

Pour écrire $- \sin (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Étape 15.3

Associez $- \sin (x)$ et $\frac{3}{3}$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- \sin (x) \cdot 3}{3} + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Étape 15.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- \sin (x) \cdot 3 + \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Étape 15.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.5.1.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x) \cdot 3 + \sin (x)$ .

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Étape 15.5.1.1.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x) \cdot 3$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Étape 15.5.1.1.2

Multipliez par $1$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x) \cdot 1}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Étape 15.5.1.1.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x) \cdot 1$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3 + 1)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Étape 15.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 3 + 1)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Étape 15.5.1.3

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) \cdot - 2}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Étape 15.5.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- 2 \cdot \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Étape 15.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \frac{2 \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

Étape 15.6

Appliquez la propriété distributive.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - - \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

Étape 15.7

Multipliez $- - \frac{2 \sin (x)}{3}$ .

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Étape 15.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + 1 \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

Étape 15.7.2

Multipliez $\frac{2 \sin (x)}{3}$ par $1$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

Étape 15.8

Multipliez $- - \frac{\sin^{3} (x)}{9}$ .

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Étape 15.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} + 1 \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

Étape 15.8.2

Multipliez $\frac{\sin^{3} (x)}{9}$ par $1$ .

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} + \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

Étape 16

Remettez les termes dans l’ordre.

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2}{3} \sin (x) + \frac{1}{9} \sin^{3} (x) + C$