Calcul infinitésimal Exemples

$\int t^{3} e^{- t^{2}} d t$

Étape 1

Laissez $u = - t^{2}$ . Alors $d u = - 2 t d t$ , donc $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = - t^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Étape 1.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t^{2}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 t)$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 t$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{- u}}^{2}$ comme $- u$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- u}$ comme ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.1.5

Simplifiez

$\int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Étape 2.6

Associez $\frac{u}{2}$ et $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int w d v = w v - \int v d w$ , où $w = u$ et $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Étape 5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Étape 6

Simplifiez

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- t^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}} - e^{- t^{2}}) + C$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}})$ .

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$- \frac{t^{2}}{2} e^{- t^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Étape 8.2.2

Associez $e^{- t^{2}}$ et $\frac{t^{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

Étape 8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- t^{2}}$ .

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

Étape 8.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2}$ .

$- \frac{t^{2} e^{- t^{2}}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

Étape 9

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} t^{2} e^{- t^{2}} - \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + C$