Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + y^{2} = 25$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = 25 - x^{2}$

Étape 1.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{25 - x^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez $\pm \sqrt{25 - x^{2}}$ .

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Étape 1.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

Étape 1.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Étape 1.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Étape 1.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Étape 1.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} \to f (x) = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} \to f (x) = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = 25$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (25)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Différenciez.

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Étape 3.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 3.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Étape 3.2.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' + 2 x$

Étape 3.3

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' + 2 x = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' = - 2 x$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $2 y y' = - 2 x$ par $2 y$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = - 2 x$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Étape 3.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x}{y}$

Étape 3.5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{y}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

Étape 4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 5

Solve the function $f (x) = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ at $x = 0$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (0) = \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

Étape 5.2.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$f (0) = \sqrt{5 (5 - (0))}$

Étape 5.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \sqrt{5 (5 + 0)}$

Étape 5.2.4

Additionnez $5$ et $0$ .

$f (0) = \sqrt{5 \cdot 5}$

Étape 5.2.5

Multipliez $5$ par $5$ .

$f (0) = \sqrt{25}$

Étape 5.2.6

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{5^{2}}$

Étape 5.2.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = 5$

Étape 5.2.8

La réponse finale est $5$ .

$5$

Étape 6

Solve the function $f (x) = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ at $x = 0$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (0) = - \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

Étape 6.2.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$f (0) = - \sqrt{5 (5 - (0))}$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = - \sqrt{5 (5 + 0)}$

Étape 6.2.4

Additionnez $5$ et $0$ .

$f (0) = - \sqrt{5 \cdot 5}$

Étape 6.2.5

Multipliez $5$ par $5$ .

$f (0) = - \sqrt{25}$

Étape 6.2.6

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (0) = - \sqrt{5^{2}}$

Étape 6.2.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = - 1 \cdot 5$

Étape 6.2.8

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (0) = - 5$

Étape 6.2.9

La réponse finale est $- 5$ .

$- 5$

Étape 7

The horizontal tangent lines are $y = 5, y = - 5$

$y = 5, y = - 5$

Étape 8