Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \sqrt{9 x^{2} + x} - 3 x$

Étape 1

Multipliez pour rationaliser le numérateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{9 x^{2} + x} - 3 x) (\sqrt{9 x^{2} + x} + 3 x)}{\sqrt{9 x^{2} + x} + 3 x}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Développez le numérateur à l’aide de la méthode FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{9 x^{2} + x}}^{2} + \sqrt{9 x^{2} + x} (3 x) + \sqrt{9 x^{2} + x} (- 3 x) - 9 x^{2}}{\sqrt{9 x^{2} + x} + 3 x}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Soustrayez $9 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 0}{\sqrt{9 x^{2} + x} + 3 x}$

Étape 2.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{9 x^{2} + x} + 3 x}$

Étape 3

Factorisez $x$ à partir de $9 x^{2} + x$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $9 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (9 x) + x} + 3 x}$

Étape 3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (9 x) + x^{1}} + 3 x}$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (9 x) + x \cdot 1} + 3 x}$

Étape 3.4

Factorisez $x$ à partir de $x (9 x) + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (9 x + 1)} + 3 x}$

Étape 4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (9 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{3 x}{x}}$

Étape 5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (9 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{3 x}{x}}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (9 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{3 x}{x}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (9 x + 1)}{x^{2}}} + 3}$

Étape 6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (9 x + 1)}{x \cdot x}} + 3}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (9 x + 1)}{x \cdot x}} + 3}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{9 x + 1}{x}} + 3}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{9 x + 1}{x}} + 3}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{9 x + 1}{x}} + 3}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{9 x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 7.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 8

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 9.1.2

Divisez $9$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 9.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{1}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 9.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 9.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 9.5

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{9 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 11

Évaluez la limite.

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{9 + 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 3}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{9 + 0}{1}} + 3}$

Étape 11.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.3.1

Divisez $9 + 0$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{9 + 0} + 3}$

Étape 11.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.2.1

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{9} + 3}$

Étape 11.3.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3^{2}} + 3}$

Étape 11.3.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{3 + 3}$

Étape 11.3.2.4

Additionnez $3$ et $3$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{6}$

Forme décimale :

$0.1\overline{6}$